借我一雙慧眼
——例析2011年與2012年江蘇高考的解析幾何試題
江蘇省海門中學(xué) 顧旭東 郵編226100
??? 圓錐曲線的內(nèi)容在近年江蘇考綱要求中的地位比較特殊，雖說(shuō)僅僅是B級(jí)要求，但由于它在高考的六大題中穩(wěn)居一個(gè)席位且區(qū)分度較大，故也被筆者戲稱為是準(zhǔn)C級(jí)要求的考查對(duì)象，而在今年的高考中解析幾何試題已悄然移至倒數(shù)第二題的位置，作為壓軸題的一部分，對(duì)此學(xué)生感到很不適應(yīng)。究其原因，讓我們一起來(lái)探循命題者的意圖，從而揭開(kāi)2011和2012兩年解析幾何試題的“廬山真面目”。
命題背景：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是近年高考的重要組成部分，而對(duì)考生的運(yùn)算能力的考查也體現(xiàn)了“三基”的要求，同時(shí)通過(guò)以下兩題的設(shè)置能夠給后續(xù)的教學(xué)起到一定的導(dǎo)向引領(lǐng)的作用。
題目：（2011江蘇卷18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系
中，
分別是橢圓
的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原
點(diǎn)的直線交橢圓于
兩點(diǎn)，其中
在第一象限，過(guò)作
軸的垂線，垂足為
，連接
，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)
，設(shè)直線
的斜率為
。
（1）當(dāng)直線平分線
段
，求的值；
（2）當(dāng)
時(shí)，求點(diǎn)到直線
的距離
；[來(lái)源:Zxxk.Com]
（3）對(duì)任意
，求證：
。??????????????????????????????????
解：（1）、（2）小問(wèn)略，???????????? ?????????????????????????????????????
（3）證明：取
中點(diǎn)為
，連
，
中，
為中點(diǎn)，
∥，即∥，
，
又
軸，
在
中，
，
即
，
，
另取中點(diǎn)
，連
，易知在
中，∥
，
不妨設(shè)
，
，
，
，
，
而
，
，
，
點(diǎn)評(píng)：題目雖然已經(jīng)解完，但帶給我們的思考很多，命題者的真正意圖是什么呢？他又想傳遞什么樣的信息呢？讓我們先來(lái)看一下本題的源頭在哪里，以下這個(gè)結(jié)論在高三的復(fù)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)。
結(jié)論1：已知為橢圓
上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，則對(duì)于橢圓上異于的任一點(diǎn)，恒有
。
當(dāng)利用上述結(jié)論時(shí)很快發(fā)現(xiàn)：
，
。
當(dāng)然我們還可以進(jìn)一步通過(guò)研究得到以下結(jié)論2。
結(jié)論2：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)坐標(biāo)原
點(diǎn)的直線交雙曲線
于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過(guò)作軸的垂線，垂足為，連接，并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)，則 
。
??? 再來(lái)欣賞今年的壓軸題之一。
題目：（2012江蘇卷19題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系
中，橢圓
的左右焦點(diǎn)分別為
已知點(diǎn)
和
都在橢圓上，其中
為橢圓的離心率。
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)
是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線
與直線
平行，
與
交于點(diǎn)。
①若
求直線的斜率；
②求證：
是定值。
解：（1）略解得橢圓方程為
（2）①由（1）知
又直線
所以可設(shè)直線
的方程為
直線
的方程為
設(shè)
由
得
解得
故
同理，
即
解得
?所以直線的斜率為
②因?yàn)橹本€所以由三角形相似得
于是
故
?? 由點(diǎn)在橢圓上知
從而
同理
因此，
?
又由
可知
所以
???? 所以原式得證。
點(diǎn)評(píng)：該題運(yùn)算量較大，很難有學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)找到準(zhǔn)確的方法算到最后的結(jié)果，那么命題者的真正意圖是什么呢？我們來(lái)看一下本題的源頭所在。
結(jié)論3.已知橢圓
過(guò)焦點(diǎn)
且與橢圓分別交于兩點(diǎn)，則
為定值。
證明：（1）若
的斜率不存在，則
，
（2）若的斜率存在，不妨設(shè)為，且令
所以由橢圓的第二定義可知：
又
綜上
（定值）
回過(guò)頭來(lái)再來(lái)看今年的高考試題，那么一切都變得簡(jiǎn)單了。
過(guò)作
交軸于
∽
，
，
∽
，
，
由以上兩式
，以下只需證明
為定值即可。
又
（其中
為直線與橢圓的另一交點(diǎn)）
（定值），?? 所以原式?jīng)C。
同樣通過(guò)研究我們還能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論。
結(jié)論4. 已知雙曲線
過(guò)焦點(diǎn)且與雙曲線（同一支）分別交于兩點(diǎn)，則
（定值）。（證明方法與橢圓一致）
結(jié)論5. 已知拋物線
，過(guò)焦點(diǎn)且與拋物線分別交于兩點(diǎn)，則
（定值）。（證明略）
結(jié)論6.在圓錐曲線中，過(guò)焦點(diǎn)且與圓錐曲線（若為雙曲線，則在同一支上）分別交于兩點(diǎn)的直線必滿足為定值。
通過(guò)對(duì)這兩條高考題的辨析，我有幾點(diǎn)反思與大家共勉。反思（1）我們?cè)谄綍r(shí)的講解中有沒(méi)有真正給學(xué)生予思考的時(shí)間與空間，是否只顧埋頭走路，不顧抬頭看天，要清醒的認(rèn)識(shí)到“教師講完了”不一定就是“學(xué)生理解了”；反思（2）有沒(méi)有真正將題型歸納到底，將問(wèn)題變化到底，將方法演繹到底；反思（3）有沒(méi)有不斷的學(xué)習(xí)他人的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)整合知識(shí)來(lái)超越自我；反思（4）有沒(méi)有將考綱與實(shí)際的高考內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，揣摩江蘇命題的方向，以期真正起到事半功倍的效果。題目是無(wú)限的，而方法是有限的，面對(duì)2013，你開(kāi)始準(zhǔn)備了嗎？
?
?
?